yuさん、こんにちは！
東京都内の大学院で建築を専攻している大学院生です。

まずはじめに、入試科目に数3がなくても入学後の授業で使うことがあるか？ということについてお答えしたいと思います。
結論から言うと、（特に理工系だと）あるところが多いと思います。
私が所属していた学科でも、入試科目に数3はありませんでしたが、大学入学後の数学の授業では数3の内容が出てくることが多々ありました。
ただ、入試科目に数3が含まれていないのであれば、数3を学んでいない人がいることも先生たちは分かっているので、授業中に簡単に解説してくださるなどの対応はあると思います。
ですので、突然当然のように現れて何も理解できない、ということは考えにくいと思います。
しかし、その場で完全に理解するのは難しいので、数3を取っていないと、大学入学後に取っていた人たちよりも頑張らなければならない、ということは十分に考えられます。
ちょっと調べてみたところ、物理や化学を大学で専門にしようとすると微積の知識がかなり必要になってくるようで、そちらに進学するのであれば数3は取っておいた方がいいのかも……と思います。

また、これは教育学部ではなく理学部に所属しながら教員免許取得のための授業を取っていた友人たちの姿を見ていて思ったことですが、通常の授業との両立がすごく大変そうでした。
通常の授業に加えて、教員免許取得のための授業も取らなければならないので、
他の人の倍とまではいかないとは思いますが、とにかく忙しそうでした。
教育学部の友人がいなかったので教育学部については分からないので、その辺は経験者であろう学校の先生に経験談を聞いてみるといいかな、と思います。

少しでも参考になるところがあれば幸いです。
頑張ってください！　応援しています。