fuuuuuttaさん、こんにちは☀

とりあえずそれぞれ質問に答えますと、
＞やはり大学院に行った方が就職に有利でしょうか？
理系職種で就職したいなら、大学院の方が有利です。
＞その場合、私立の大学院より国立の大学院に行くべきですよね？
それは別にどちらでも構いません。
＞仮に私立大学に進んだとして、国立の大学院に行くことは物理的に可能ですか？
はい、可能です。

最初の質問の答えのように、もし理系職種(研究・開発等)で就職したいのであれば、基本的に皆、大学院卒になってきます。
学部卒ではなかなか理系職種での就職は難しいでしょう。
で、大学院に進学するとなった場合、国立であろうと私立であろうとこれはどちらでも同じです。
大学院を選ぶ時の判断材料は、
・自分がやりたい研究をしているか？
・通いやすい大学院か(立地的にも、金銭的にも)？
・研究室の雰囲気があっているか？
ぐらいになってきます(研究者として残りたいのであれば、研究費がある研究室かどうかも判断材料になりますが)。
私立か国立かの違いで言ったら、金銭的な部分がメインになってきますので、こちらは親御さんとの相談になるでしょう。
それからもし大学は私立に行っても、大学院から国立に行くことは可能です。大学院から別の大学に行くことなんて、よくある話です。実際私もその1人です。
これは大学4年生の時にある大学院入学試験というものを受験し、合格すればいいので、誰でも国立大学大学院に行けるチャンスはあります。
今現在MARCHを考えているのであれば、大学は私大、大学院は別の大学を受験して国立に行くというプランでも問題ないと思います。

ただ、親御さんが国立を推しているようなので、いろいろな意見や情報を参考に、親御さんとよく相談して決めたほうがいいと思います。
fuuuuuttaさんも親御さんもどちらも納得できる進路を選択できることを願っています。