こんにちは。
調べてみたところ、管制官になるには、ご質問の通り大学などを出て国家試験に合格する方法のみです。国家試験合格後に研修として保安大学校の管制科に入学します。
具体的には、
①大学・短大・高等専門学校を卒業する（翌年3月の卒業見込みでも可）
②航空管制官採用試験に合格して国土交通省に採用される
③採用後、航空保安大学校で8カ月間の研修を受ける
④各地の空港などで実地訓練を行い、技能証明を受ける
⑤実際に管制官として業務を行う
というプロセスがあるようです（https://shingakunet.com/bunnya/w0009/x0118/）。
ちなみに、採用試験は大卒程度レベルで、しっかりと対策すれば文理どちらが有利、ということはないと言われているそうです。

少しでも参考になれば嬉しいです。
頑張ってください！