こんばんは。
JAXAで衛星開発の仕事をしているものです。
（あいにく、ISS関係ではないのですが）

現役の宇宙飛行士は、全員、JAXAの職員です。
宇宙飛行士に応募する時点では、いろいろな方がいますが、
（医師、民間企業、自衛隊、等）
宇宙飛行士になった時点でJAXAの職員となります。

それと、ISSの日本のフライトディレクタはJAXA職員です。
ですが、JAXA職員は、1つの職種を入社からずーっと続けてやるわけではありません。定期的な人事異動があります。
フライトディレクタ経験者も、次はまったく別の業務をすることもあります。
JAXA職員は、宇宙に関するさまざまな業務を行っていますので、よろしければwebサイト等も参照してみてくださいね。
(3/1から新卒者用の採用サイトがオープンしました。いろいろな職員のプロフィールも見れますよ）