こんにちは。

動物看護師には普通の医師や看護師，獣医師のように国家資格がありません。各種団体が，たとえば動物看護学会など，独自に認定制度を設けているようです。つまるところ，資格がなくても，働くことは原理的には可能です。
ただ，大多数の現在動物看護師として働いている方は大学ではなく専門学校を出て，前述の動物看護学会などの認定試験に合格して，動物病院で従事しているようです。

なので，必ずしも大学に行かねばならないということはありません。
試験内容も，その認定を出す学会や協会によって違います。自分がどこの学会や協会の認定試験を受けるかで何を勉強したらよいかが変わってきます。

ちなみに，最近は大学でも動物看護師の認定試験に関して学べるようなところも出てきているようですが，帝京大学のアニマルサイエンス学科が代表で，あと数校しかありません。全部私立です。学科としては生命動物科学科などです。

BHKさんは応用生物化学科では？と書いていますが，そこでは成れないわけではないですが，受験資格などは得られません。独学で動物看護師の認定試験を勉強しないといけないですね。

何学を学べばよいか，ですが，協会で認定試験に出題している範囲のことを学べばよい，ということです。試しに，動物看護学会のHPでも覗いてみるとよくわかると思いますよ。