こんにちは。お返事が遅くなってしまい、申し訳ありません。
私も現役当時、獣医学部を志望していました。国立が第一志望だったので、数Ⅲも勉強していました。すこし事情は違うかもしれませんが、わかる範囲でお答えします。
・国立と私立を両方とも狙うのは難しいのか？：私が受験生だったころは、私を含め、国立、私立の大学を両方狙っている人はたくさんいました。なので、不可能ではないと思います。国立のほうが科目数が多く、受験方式も記述型なので両方の対策をするのは大変かもしれませんが（私が受験生の時は私立はマーク式が多かったです）。
・国立１校の数Ⅲを捨て私立だけを狙うべきか？：これはsmilerさんの判断にもよりますが、本当に国立は受験しませんか？まだ受験先がはっきり決まっていないとのことなので、国立を受験する、もしくは数Ⅲの必要な大学を受験することになったとき、独学で勉強するのは正直、大変だと思います。他の学科で数Ⅲが必要なところをはっきりとは知りませんが、国立の理系学科だとたいていは数ⅢCまで必要になると思います。
来年数Ⅲをとるにしろとらないにしろ、時間の無駄ということは決してないと思います。将来の選択肢を広げると思って、今年いっぱい勉強してみてはいかがでしょうか。
頑張ってくださいね！