こんにちは。
大学の教員(助教)をしています。

ので，大学教授に関してだけお答えできるので，その点だけお答えします。

まず，大学の教授になるにはどうしたらいいか。
私のように，助手や助教から始まって，キャリアを重ねて准教授，教授と上がってゆくパターンが普通です。
もう一つは，何年も企業や公官庁に勤めていて，大学側の採用があった時に，この人なら教授としてふさわしい，と判断された場合です（４０代後半から５０代の年代の方が多いです）
つまり，おっしゃるように，大学の教授になるまでは年数がかかることが多いと思います。
しかも，大体が博士卒，なので，大学は最低でも９年間は通うことになります。

しかし，研究することもなく自分の地位に～，というところは違います。今教員も「教員評価」というものがあり，特に理系の場合は論文数などが反映されます。つまり，成績が悪いと昇進などにかかわってきます。しかも，最近では学生の評価というものも厳しいので，それにも耐えうる仕事，研究と教育の両方をしっかりしていることが求められていますので，大変な仕事です。

ポストそのものが開いていないのは確かです。他の職と違い，毎年就職活動して就職できる，というたぐいのものとは全く違います。博士を卒業して，数年どこかで研究して，大学の採用情報があった時に，応募して，採用されればまずは助教や助手から，ということが多いです。
給料が低いかどうかは，大学によります。というのも，国立大学法人と私立大学ではだいぶ違いがあると思われます。

公務員も，事業仕分けなどでかなり給料や退職金が減ってきています。つまり，公務員の給料は，国がどのような政治体制に置かれているかで左右します。私のような国立大学法人の教員も同じく，１０月くらいに給料が何パーセントかカットされています。
そういう意味では，公務員イコール安定，という方程式は崩れてきているのかもしれません。私が子供のころなどはやっぱり公務員イコール安定，という感じでしたが，最近はそうではありません。私の父も公務員（技術士）でしたが，同じ職でも，職場が大学でしたので，法人化によって，いわゆる完全な公務員とはくくりが違うようになりました。それも本人の意思とは関係なく，そういうことが起こるのです。本当，国がどういう体制をとるかによって左右されます。

でも，やっぱり安定して研究ができるというのも間違ってはいません。ただ，企業でも安定して研究をできるところは多々あります。

ふと，今思ったんですが，大学教授になりたいということは，教育と研究の両方をしたいということですよね？それが違っていたら大学で働くのには向いていないので，あしからず。

最上位の大学の教員になるには、ただただ研究業績が求められます。
大学からは、研究が出来れば教育くらいはできるだろう、といった評価です。
実際、学生が優秀なので、教員の教育能力が高くなくても問題なかったりするのです。

とはいえ、そのような教員ポストは非常に限られた数しかありません。
京都大学の数学科出身者でも、大半にとっては縁のないポストです。
学科の定員と新規の着任教員の数を見れば一目瞭然です。

大学で研究員をするか、普通の大学の教員ポストを得るか、企業へ就職することを考えるのが現実的でしょう。
公務員試験も、国立大の受験を経験している人ならばその際の受験勉強がある程度役に立つので向いています。

それはそうと、これまで苦労して育てて下さったお母様に楽をさせてあげたいというような思いが強いのだと思いますし、高給取りの仕事ということであれば、数学科に進むより医学部でも目指したほうがよいのでは？

数学もあきらめられないのなら、数学科 → 外資系投資銀行あたりは高給でしょうが、狭き門です。