こんにちは、barbieさん。
まず、理学と工学の違いは分かりますか？
簡単に言うと、理学というのはものの本質について学ぶ学問です。理論とかですね。
そして、工学というのは人や社会の役に立つものを作り出すための学問です。工学が「ものづくり」言われるのはそのためです。ですので、同じ数学科だとしても、教育学部、理学部、工学部では根本的に学ぶことや、研究することが違ってきます。
さらに簡単に言うと、教育学部では数学をいかに教えるか、理学部では数学そのものについて、工学部では数学をいかに社会に役立てるか、について学ぶと解釈してよいと思います。
そう考えると、数学そのものを学ぶ理学部が一番数学について学べるのではないでしょうか。

教職の免許を取るのであれば、基本的に教育学部ですが、どの教職を取るかで違います。工学部や理学部でも講義の選択をすれば、教職免許は取れます。でも、工学部や理学部でとれる教職免許は「工業高校の理科」に限られていることが多いです。ですので、普通高校や中学などの教職免許を取りたいのであれば、教育学部がよいでしょう。
どんな免許がとれるかは、大学のパンフレットなどに書いてあるはずですので、くまなくチェックしましょう。

理系のほとんどが大学院まで進み博士号を取るということですが、そうでもないのではないかな、と私は思います。私は博士まで進み博士号（医科学博士）を取得して今働いていますが、私の同期で博士課程まで進学したのは学科で２人だけでした。今は結構多めだとは思いますが、研究を続けたければ博士まで進む、と考えていたほうがよいと思います。理系大学へ進んでも研究に向いていない人はたくさんいます。そういう人は大学４年間で就職します。
９年間通って意味があるかどうかは自分の過ごし方次第でしょう。
博士まで通う人はそれなりに覚悟があったり、研究が大好きだったりしますよ。

最近読んだ本で面白い記述があったのでご紹介します。
「理系は１０年単位で結果を出す。文系は最初の１０年が待てない。だから、文系と理系との間に相互理解の溝があるのだ」
ということです。理系の時間軸では１０年単位が当たり前。９年なんて研究している人にとってはあっという間なのです。

少しは参考になれば幸いです。数学は素敵な学問だと私は思います。頑張ってくださいね！