こんにちは！

結論から言うと、先生がおっしゃるとおり、そんな慌てて取り組む必要は無いのではないかと、私は思いました。
小論文の場合、文章構築のテクニックを上げる必要があるわけですが、先生がおっしゃる「2学期からでも良い」と言うのは主にこの部分であると思われます。
また、ボキャブラリの引出が多いのに越した事がないわけですが、こねこさんは新聞を読んでおられるので、ある程度、引出はそろっておられると思います。
その引出から上手に言葉を引っ張り出して文にする練習も「テクニック」に含まれるので、今は新聞を読むのを（天声人語だけであっても）続けるのが良いです。

一方、それよりも大事な事があると思います。
文章を書くにあたって、そこに「自分」や「自分の意志」があるかどうか、です。
受け身でニュースを聞き流したり天声人語を読み流したりするだけではなくて、その記事や事件に関して「自分はこう思う」と言う考えを持つ習慣を、今から作って行った方が良いのではないでしょうか。
通学電車の中や、お風呂に入っている、ほんの数分で良いので「あんな事件があったんだ。こう言う改善をすると良いと自分は思うな」とか「自分だったらこうする」などを考える訓練をするのです。
何度も報道されているニュースに関してすら「自分だったらこうする」と言う考えを持つ事なく何となく「他人事」に見ていたり、あるいは「こっちも良いけどあっちも良い。わからない」と判断ができなかったり、「こうしたい！と言う意志があっても人に説明するとなると、だらだらとしか話せない」となったり、意外と「自分の意志を持って、それを認識して表現する」と言うのは大人でも難しいものです。
小論文って、その内容の正しさよりも（「正解」なんて無い事の方が多いので）、自分の意志を持っていて、それを表現できているか、が見られるわけですから、「自分の考え」を持つスキルがとても重要です。
普段からご家族とちょっと事件について話をしてみて大人の意見も聞いておく、なども有効かと。
こねこさんの将来のためにも、とても役に立つと思いますよ！

今は「自分の考え」を持つ潜在能力を淡々と上げておきて、文章構築の訓練は追い込みで・・・で良いのではないなかと思いました。