できます。
公務員試験にさえ受かればよいので、その勉強さえすれば学部は関係ないです。
私の同期（博士2年でした）も、試験を受けて公務員になりましたよ。
ちなみに、理系の学科で取られる職種もあったかと思います。「化学で二人」とかいう枠が、わずかですがあった筈です。主な業務は分析などと聞きました。
ちなみに同期も、確か環境という枠で入ったので、理系として入ったのだと思います。

広義で公務員であれば、科捜研、科警研も公務員ですし、学校の教員や大学職員も公務員ですね。