♪aya♪さん

こんにちは！　回答が遅くなってごめんなさいね。
すでに、試験は終わっちゃったよね。ゴメンなさい。

ところで、この問題解決できた？　先輩リケジョには、数学をすでに離れた人も多くてすぐに回答できなくてごめんなさいね。

事務局のなけなしの頭で考えると、式から、８n＋５と７n＋４とn＋１と３の最大公約数が同じということがわかって、かつ互いに「素」というのは、最大公約数が１で、それが全部同じなので、n＋１と３も互いに素っていえるんじゃないかな？？（先生に確認してください～）

進路のこととかなら絶対お答えできると思うので、また、何かあれば質問してくださいね～

お返事おそくなりすみません。。
見れるときと見れない時があって、気付きませんでした。。

今更ですが、考え方を少しお話ししますね！

①まずnに数字を入れてみる。
たとえば、今回は小さめの数字でn=3を入れてみましょう。
8n+5=29
7n+4=25
n+1=4
たしかに問題と解答が行ってることは正解ですね。
ついでにダメな時（この問題だとn=8とか）も計算してみてください。
ここで、問題と解答が行ってることを納得できると思います。

②解答を理解する。
条件（a=bq+r なら、aとb　bとrの最大公約数が等しいことを用いる。 ）
これを使うためには8n+5を使いやすいbq+r の形に変形させます。
今回は7n+4の形に無理矢理変化させます。
すると解答にある８n＋５＝（７n＋４）・１＋n＋１
この式に条件を適用すると、
【７n＋４と８n＋５の最大公約数が1】は【7n+4とn+1の最大公約数が1】と言い換えることができます。
#7n+4とn+1の最大公約数が1⇔７n＋４と８n＋５の最大公約数が1
#互いに素は最大公約数1ですよね–！

同じように、7n+4を無理矢理n+1を使ってbq+rの形に変形すると、（n＋１）・７-３
これに条件を適用するよ
【７n＋４とn+1の最大公約数が1】は【n+1と3の最大公約数が1】と言い換えることができます。
#nは自然数で公約数を求めるので、今回は-3じゃなくて、3ですよ。

つまり
【７n＋４と８n＋５の最大公約数が1】⇔【7n+4とn+1の最大公約数が1】⇔【n+1と3の最大公約数が1】なので、
【７n＋４と８n＋５の最大公約数が1】⇔【n+1と3の最大公約数が1】と言えます。

こういう手法はよく使いますよ！
A=B,B=CならばA=Cみたいなのです。

数学はこういうパズルみたいな戦法はこれからも色々出てくると思いますが、
楽しんでくださいねーvv