ねこにゃんこさん、こんにちは☀
大学院説明会の時に研究室訪問の説明があってもおかしくないのですが、特にありませんでしたか？

一般的には書かれているように、行きたい研究室の先生にメール→アポイントメントをとる→研究室訪問となります。
お礼のメールは人によりけりですね。
研究室訪問したところで、結局は大学院入試に合格しなければ関りはないですし。
教員側も何人も研究室見学の対応をしているので、一学生がどのような人間性かは気にしていないです。
まぁお礼を言っておいた方が印象はいいですけどね(笑)
数学科の人間ではないので、数学科が独自の方法を取っていたらわかりませんが、一般的には研究室訪問はどこもこのような感じです。

それから手土産のことを気にされていますが、ここも人によると思いますが、持っていかない方がいいです。
私も以前他大学の大学院入試を受験するために研究室訪問をしたことがあるのですが、その際に手土産を持っていったら、受け取れないと言われました。
理由は、これから大学院受験を控えているため、いわゆる“わいろ”として受け取られる可能性があるからです。
私もその先生に言われて初めてその可能性に気づきましたが、人によってはかなり気にします。
もちろん単純に喜んで手土産を受け取ってくださる方もいらっしゃると思いますが、利益授受の関係がある以上は気を付けたほうがいいです。

あと、研究室訪問の時期ですが、やはり講義がない夏休みや春休みがいいですね。入試の時期(1月～3月上旬)は絶対に避けたほうがいいです。
ただ夏休みは大学院入試もありますので、後半(9月)の方が比較的対応しやすいです。
どちらにしろ、訪問先の先生に確認したほうがいいですよ。

他大学の大学院進学を希望しているのであれば、研究室見学は絶対にしておいてください。
ただ一方で、そんなに硬くなりすぎなくていいので、気楽に見学することをお勧めします。